九、商品利潤問題（又叫盈虧問題）

一、列方程問題

【數(shù)量關(guān)系】 方程的等號兩邊數(shù)量相等。

【解題思路和方法】 可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗、答”六字法。

例題：甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？

第一種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（90－Χ）人。

找等量關(guān)系：甲班人數(shù)＝乙班人數(shù)×2－30人。

列方程：90－Χ＝2Χ－30

解方程得 Χ＝40 從而知 90－Χ＝50

第二種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（2Χ－30）人。

列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90

解方程得 Χ＝40 從而得知 2Χ－30＝50

答：甲班有50人，乙班有40人。

二、最值問題

【數(shù)量關(guān)系】 一般是求最大值或最小值。

【解題思路和方法】 按照題目的要求，求出最大值或最小值。

例題：在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時放兩塊餅，現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？

解：先將兩塊餅同時放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅。再過3分鐘取出熟了的第二塊餅，翻過第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面，再烤3分鐘即可。這樣做，用的時間最少，為9分鐘。

答：最少需要9分鐘。

三、公約公倍問題

【數(shù)量關(guān)系】 絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來解答。

【解題思路和方法】 先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。

例題：一張硬紙板長60厘米小升初應(yīng)用題，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？

解 硬紙板的長和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長。

60和56的最大公約數(shù)是4。

答：正方形的邊長是4厘米。

四、抽屜原則問題

【數(shù)量關(guān)系】 基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。

通俗地說，如果元素的個數(shù)是抽屜個數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。

【解題思路和方法】 （1）改造抽屜，指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屜；

（3）說明理由，得出結(jié)論。

例：家家樂學(xué)校有367個2000年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個學(xué)生的生日是同一天的？

解 由于2000年是潤年，全年共有366天，可以看作366個“抽屜”，把367個1999年出生的學(xué)生看作367個“元素”。367個“元素”放進366個“抽屜”中，至少有一個“抽屜”中放有2個或更多的“元素”。這說明至少有2個學(xué)生的生日是同一天的。

五、幻方問題

【數(shù)量關(guān)系】 每行、每列、每條對角線上各數(shù)的和都相等，這個“和”叫做“幻和”。

三級幻方的幻和＝45÷3＝15

五級幻方的幻和＝325÷5＝65

【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數(shù)的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。

例題：太長了，懶得打字。

六、構(gòu)圖布數(shù)問題

【數(shù)量關(guān)系】 根據(jù)不同題目的要求而定。

【解題思路和方法】 通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。

例題：十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。

解 符合題目要求的圖形應(yīng)是一個五角星。

4×5÷2＝10

因為五角星的5條邊交叉重復(fù)，應(yīng)減去一半。

七、溶液濃度問題

【數(shù)量關(guān)系】 溶液＝溶劑＋溶質(zhì)

濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%

【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例題：爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？

解：（1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克）

（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）

答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。

八、存款利率問題

【數(shù)量關(guān)系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100%

利息＝本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率

本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數(shù)］

【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例題：李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。

解 因為存款期內(nèi)的總利息是（1488－1200）元，

所以總利率為 （1488－1200）÷1200 又因為已知月利率，

所以存款月數(shù)為 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）

答：李大強的存款期是30月即兩年半。

九、商品利潤問題（又叫盈虧問題）

【數(shù)量關(guān)系】 利潤＝售價－進貨價

利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%

售價＝進貨價×（1＋利潤率）

虧損＝進貨價－售價

虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%

【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例題：某商品的平均價格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？

解：設(shè)這種商品的原價為1小升初應(yīng)用題，則一月份售價為（1＋10%）小升初應(yīng)用題，二月份的售價為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價比原價下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%

答：二月份比原價下降了1%。

十、方陣問題

【數(shù)量關(guān)系】 （1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4

每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1

（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）－（內(nèi)邊人數(shù)）

內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

例題：在家家樂學(xué)校的運動會上，進行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？

解：22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。