北京中考數學，為何中學老師感覺卷子難，但是小奧老師感覺卷子妙？

2019年的中考已經塵埃落定，而今年反響最為強烈的科目就是數學，普遍認為數學題難且新，不出意外，此次中考數學將成為拉分之王。我在看試卷的時候也為孩子們捏了一把汗，按說要難大家都難，但就怕心理不夠強大的同學會崩潰導致影響發揮。看過今年中考試卷后，我覺得可以用八個字概括：“新而不偏，難而不繁。”今年的試卷更重視從思維和理解的層次來進行考察，這就使得很多只是死背結論、刷題不求甚解的同學遭了罪。

看完試卷后，我與很多數學老師交流過，發現了一個現象，中學老師普遍認為卷子出的難，但是小奧老師普遍認為卷子出的妙。身為既教小奧、又教中考的老師，這兩種想法我都能理解。中學老師覺得難，主要是因為題目沒有按套路出牌，平時總結的模型、題型能用上的不多，對于數學能力弱的孩子殺傷力很強；小奧老師覺得妙是因為今年的試卷側重考查學生的思維和探究能力，以及對數學概念本質的理解，這更像是小學奧數，題目靈活多樣，無章可循，但若能獨立思考、舉一反三，則一通百通。

接下來，我要結合今年中考典型題目，來分析中考傳達的信息，以及給予我們學習上的啟示。想查看中考試卷和答案可以點擊左下角的“閱讀原文”。

1、選擇題的最后兩道：

第7題的考察形式比較新穎，條件A、B、C知二推一，問有幾個正確的命題。在課上教學時，我喜歡翻來覆去的帶著同學們思考問題：條件和結論互換，命題是否成立。而且我從不告訴學生答案，而是讓認為正確的學生找到證明方法，認為錯誤的同學舉一個反例。這就是在教給同學們判斷命題正誤的方法，有的同學很喜歡探索，也有的同學不喜歡思考。這道題就能區分出這兩類同學，平時不愛思考的同學，這道題只能束手無策。在初一剛學了不等式的時候，我就在班上帶著學生討論過：兩個數的大小和它們倒數的大小關系，而且讓學生自己利用不等式的性質來證明。結論是同號兩數的大小關系與倒數大小關系相反，異號兩數大小關系與倒數相同。在第7題的三個命題中，其中兩個都可以由不等式的性質直接得到，而知道a、b的大小關系和a、b倒數的大小關系反推a、b符號是否相同，可以用反證法。假設a、b異號，由a>b得a正b負，與倒數關系矛盾，又因為a、b都不為0，所以a、b同號。平時沒有養成思考的習慣，到了考場上現想是肯定行不通的。

第8題在知道平均數和中位數的算法的基礎上，還需要會估算，這是小奧的思想。①所有人的平均數一定介于男生平均數和女生平均數之間，這和兩杯不同濃度的溶液混合，濃度必然介于二者之間是一個道理。②要判斷中位數在那一段中，只需要知道總數和兩頭人數即可，在小奧中也有估算排名的題目，屬于間接法。③是極端分析，在初中1~10這一段未知的情況下判斷中位數落在哪個范圍，初中明顯在后兩段人數較多2019北京中考數學試卷，那么只要看第一段人數為0時，中位數是否仍然在20~30之間即可。④仍然是極端分析，但是需要利用表中數據填出高中各段人數，這很像小奧中的比例計算與列表分析，見過這類題的同學應該不會慌。所以在這道題上，沒學過小奧的同學是很吃虧的。

2、填空題：

第12題：看到這道題，小奧老師都笑了，小奧原題！方法是兩條1×2的對角線和一條1×3的對角線可以拼成一個等腰直角三角形。

第16題：這道題考察的是同學們探究的能力，課上不太可能討論過這個問題，但是會涉及到類似的情況。可以利用平行四邊形的中心對稱性，過矩形對角線交點并與矩形的邊交于端點的線段必被中心平分，所以連接兩條這樣的線段的四個端點一定是平行四邊形。若想進一步成為矩形，只需要這兩條過中點的線段長度相等即可，所以以矩形中心為圓心畫圓跟矩形四邊相交即可，但是一定能做到嗎？一定能，小奧里面講過圖形間的交點計數，圓與矩形最多可以有8個交點，以中心為圓心，只要半徑大于矩形長的一半，且小于矩形對角線的一半即可。若想變為菱形，只需要這兩條過中點的線段互相垂直即可，這樣肯定能與矩形四邊相交而且能畫無數個。正方形是不行的，一個瘦長的矩形四邊各取一點連一個正方形都畫不出來。

3、解答題：

第22題：這道題出法比較新穎，是一道需要同學們自己畫圖的證明題，有點類似于選擇第5題，主要考察弧、弦、圓周角之間的關系，同時如果能應用垂徑定理逆定理，就可以快速找到圓的直徑就是BC，從而得到DE是圓的切線。

第23題：說這是一道小學奧數題也不為過，因為我把這道題拿到6年級的班上，很多同學可以做對，但是如果沒學過奧數，這道題真的不好做，因為這道題太需要奧數思想了。首先是找突破口，有點像數字謎的思想，這道題最后一問的突破口是第4天，x1+x3+x4≤14，所以要想讓總數最多，只要讓x2最大就可以了。第2天x2+x1≤14，第3天x2+x3≤14，第5天x2+x4≤14，也就是說x2的最大值取決于另外三組最大的那個數，所以只要讓x1、x3、x4中最大的那個數盡量小就行了，典型的小學奧數最值思想：最大數的最小值。由于x1+x3+x4=14，所以4、5、5即可滿足，x2為9，故最多是23首。

第24題：這道題是最坑但也是最妙的一道題，說它坑是因為要是第一問找不對自變量，后面都沒分，說它妙是因為它考察了函數中最重要的東西——函數的定義。在課上，我一直強調，如果你連函數的定義都說不出來2019北京中考數學試卷，那說明你根本不懂函數！這句話果然在這次中考中印證了。我在課上還會用“歡樂抄10遍”的環節督促學生記住定義：對于每一個自變量，都有唯一的因變量與之對應，這才是函數關系。就好比一個爸爸可以有多個孩子，但是一個孩子只能有一個親爹！分不清誰是兒子，誰是爹，扣分一點都不冤！在這道題里，從數據的表格中就能看出來只有AD可以作自變量。函數的概念如果不清晰，到了高中學曲線方程，更容易混淆。所以在這里栽個跟頭，如果能記一輩子，其實不虧。

4、最后4道壓軸題：

第25題：做這道題，你首先要知道一次函數斜率和截距對直線的影響：截距為1，說明直線過（0,1）；斜率絕對值越大，直線越抖，反之直線越平。由此畫圖就可以判斷出，k>0時三角形內肯定有原點，故而考慮k＜0的情況，-1≤k＜0是可以的，但是隨著斜率絕對值繼續增加，直線y=kx+1一定在（-1,2）上方，只有當k為-2時，才能讓這個整點落于底邊上，此時內部無整點。但我認為這道題出的是敗筆，因為如果再往下想，k為其它負整數時會不會有這種情況呢？可以證明是沒有的，只要說明當k=n（n為小于-2的負整數）時，點（n+1，-n+1）一定在直線y=kx+1下方即可，但是需要計算，在中考有限的時間內，是不太可能想清楚的，雖說是直接寫出答案，結論憑感覺這種事還是不太好。

第26題：這道題的原理有點像解決一元二次方程根分布問題2019北京中考數學試卷，利用的是兩個連續函數圖像若兩端一高一低，則中間一定會有交點。對于這道題，要想讓拋物線與線段有交點，只需要線段一頭比拋物線低，另一頭比拋物線高即可，利用這個關系列出不等式求解。很明顯，a>0時兩點都在拋物線上方，所以只討論a時即可。如果做過類似題目并學會方法的同學，這道題是毫無難度的，但做題量少的同學若沒見過這個類型，就沒有辦法了。

第27題：這道題是本次考試最難的一道題，難點在于如何找到OP的長度，很多解答直接給出OP=2，然后開始證明，如果是這樣，這道題難度就大打折扣了。我用了一種構造方法可以求出OP：

第28題：這道題考察的是圓與直線位置關系，題目比較靈活，需要具備一定的空間想象能力，題目中還涉及到了中位線、平行和相似。以DE為分界，分圓心在DE下方和圓心不在DE下方兩類：第一類中E為切點時是臨界點，此時的圓心及其下方都是可以的；第二類比較簡單，圓心越低，弧越低，圓心越高弧越高，圓與底邊相切時為臨界點，此時的圓心及其上方都是可以的。第三問則需要在臨界情況算出t，利用中位線和平行線間的比例計算更容易。這道題的前2問還是比較簡單的，只是很多同學根本沒有時間做到這里，所以如果合理安排時間，果斷放棄思考27題而先做28題，分數可能會更高些。

總結：這套卷子有難度，前面有很多題目滲透了小奧思想，后四道壓軸題每一道都不水，雖然計算量不大，但是需要想的地方很多，全面考察了思維能力而非生搬硬套。所以，可以理解很多同學對此次中考有怨念，但是更應該思考的是，我們需要在哪些方面注意：

首先要勤于思考，不能滿足于知道結論，還要明白是怎么來的，并且要翻來覆去的想，如果條件能推出結論，那結論能不能推出條件，平時不去想，考試的時候就沒時間想了。對于小學的同學來說，雖然現在點招的機會不多，但是奧數真的能鍛煉思維，讓你在數學中考中占據優勢。

其次，基本概念，尤其是重要的概念必須記憶并理解，決不能犯懶，否則你很可能在中考中失去一道大題。

最后，在刷題時遇到難題，不能滿足于看懂答案，而要多想想，這個答案是怎么想到的，你下次碰到能不能想出來。想辦法找到思路的來源，把它總結成模型，這才是真正學會了這道題，否則刷題就是狗熊掰棒子。