1.(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)已知 a，b，c 分別為△ABC 三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC 面積的最大值為. 解析 由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即 b 2＋c 2 －a 2 ＝bc，所以 cos A＝ b2 ＋c 2 －a 22bc＝ 12 ，又 A∈(0，π)，所以 A＝π3，又 b 2＋c 2 －a 2 ＝bc≥2bc－4，即 bc≤4，故 S △ ABC ＝ 12 A≤12 ×4×32＝ 3，當(dāng)且僅當(dāng) b＝c＝2 時(shí)，等號(hào)成立，則△ABC 面積的最大值為 3. 2.(2015·四川卷)設(shè)數(shù)列{a n }(n＝1，2，3，…)的前 n 項(xiàng)和 S n 滿足 S n ＝2a n －a 1 ，且a 1 ，a 2 ＋1，a 3 成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{a n }的通項(xiàng)公式； (2)記數(shù)列 ? ????? 1a n的前 n 項(xiàng)和為 T n ，求使得|T n －1|＜11 000 成立的 n 的最小值. 解 (1)由已知 S n ＝2a n －a 1 ， 有 a n ＝S n －S n － 1 ＝2a n －2a n － 1 (n≥2)， 即 a n ＝2a n － 1 (n≥2)，所以 q＝2， 從而 a 2 ＝2a 1 ，a 3 ＝2a 2 ＝4a 1 ， 又因?yàn)?a 1 ，a 2 ＋1，a 3 成等差數(shù)列， 即 a 1 ＋a 3 ＝2(a 2 ＋1)， 所以 a 1 ＋4a 1 ＝2(2a 1 ＋1)，解得 a 1 ＝2， 所以，數(shù)列{a n }是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列， 故 a n ＝2 n . (2)由(1)得1a n ＝12 n ， 所以 T n ＝ 12 ＋12 2 ＋…＋12 n ＝12 ??????1－ ? ?????12n1－ 12＝1－12 n . 由|T n －1|＜11 000 ，得 ??????1－12 n －1 ＜11 000 ， 即 2 n ＞1 000， 因?yàn)?2 9 ＝512＜1 000＜1 024＝2 10 ，所以 n≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000 成立的 n 的最小值為 10.